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The fusion of algebra, research and geometry, and their program to actual international difficulties, were dominant topics underlying arithmetic for over a century. Geometric algebras, brought and labeled by means of Clifford within the past due nineteenth century, have performed a popular function during this attempt, as obvious within the mathematical paintings of Cartan, Brauer, Weyl, Chevelley, Atiyah, and Bott, and in purposes to physics within the paintings of Pauli, Dirac and others.

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31, dann folgt für R D Z, dass für jede Primzahl p das Ideal pZ prim und damit maximal ist. 29 ein Primelement. 7 (Primideale) Sei 'W R ! R0 ein Homomorphismus zwischen zwei kommutativen Ringen mit Eins, der die Einsen erhält, und I 0 E R0 ein Primideal. I 0 / ein Primideal in R ist. R/ irreduzibel, falls sich r nicht in das Produkt von zwei Nichteinheiten zerlegen lässt, d. R/. Man zeige: (i) Ist p 2 R prim, so ist p irreduzibel. (ii) Ist R faktoriell, so gilt auch die Umkehrung von (i). 9 (Irreduzible Elemente in einem Hauptidealring) Sei R ein Hauptidealring und 0 ¤ r 2 R.

2 Anwendungen auf lineare Abbildungen 0 ker. jM / Š Rd mit d 0 Ä n 45 1. Damit gilt 0 0 M Š ker. jM / ˚ I Š Rd ˚ R Š Rd C1 mit d 0 C 1 Ä n. Wir kommen jetzt zu dem mehrfach angekündigten Zerlegungssatz für endlich erzeugte Moduln. Dass er von erheblicher Bedeutung ist, kann man schon daran ablesen, dass der Spezialfall von Z-Moduln, d. h. abelschen Gruppen, unter dem Namen Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen bekannt ist. 26 (Zerlegung endlich erzeugter Moduln I) Sei R ein euklidischer Ring und M ein endlich erzeugter R-Modul.

Für einen kommutativen Ring mit Eins nennt man die Anzahl n der Elemente einer endlichen Basis eines freien R-Moduls den Rang des Moduls. Im Falle von Vektorräumen, d. , wenn R ein Körper ist, ist der Rang nichts anderes als die Dimension des Vektorraumes. 6 (Ein Ring R, der als Modul zu R 2 isomorph ist) Sei K ein Körper, V ein unendlich-dimensionaler K-Vektorraum. Man zeige: (i) V ist als K-Vektorraum isomorph zu V 2 . V; V /2 D R2 . Exkurs: Direkte Summen und Produkte Wir werden im nächsten Kapitel diverse Möglichkeiten kennenlernen, wie man aus gegebenen Moduln neue Moduln bauen kann.

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by Jason
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