Algebra für Einsteiger: Von der Gleichungsauflösung zur by Jörg Bewersdorff PDF

By Jörg Bewersdorff

ISBN-10: 332291562X

ISBN-13: 9783322915627

ISBN-10: 3528131926

ISBN-13: 9783528131920

Dieses Buch ist eine leichtverst?ndliche Einf?hrung in die Algebra, die den historischen und konkreten Aspekt in den Vordergrund r?ckt. Der rote Faden ist eines der klassischen und fundamentalen Probleme der Algebra: Nachdem im sixteen. Jahrhundert allgemeine L?sungsformeln f?r Gleichungen dritten und vierten Grades gefunden wurden, schlugen entsprechende Bem?hungen f?r Gleichungen f?nften Grades fehl. Nach quick dreihundertj?hriger Suche f?hrte dies schlie?lich zur Begr?ndung der so genannten Galois-Theorie: Mit ihrer Hilfe kann festgestellt werden, ob eine Gleichung mittels geschachtelter Wurzelausdr?cke l?sbar ist. Das Buch liefert eine gute Motivation f?r die moderne Galois-Theorie, die den Studierenden oft so abstrakt und schwer erscheint.

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The fusion of algebra, research and geometry, and their program to actual global difficulties, were dominant topics underlying arithmetic for over a century. Geometric algebras, brought and labeled by way of Clifford within the overdue nineteenth century, have performed a sought after function during this attempt, as obvious within the mathematical paintings of Cartan, Brauer, Weyl, Chevelley, Atiyah, and Bott, and in purposes to physics within the paintings of Pauli, Dirac and others.

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Es ist (0, 1)-(0, 1) = (0, -1 )·(0, -1) = (-1, 0), ein Ergebnis, das wie gerade bemerkt der reellen Zahl -1 entspricht. Damit können wir die beiden komplexen Zahlen (0, 1) und (0, -1) wie angestrebt als Quadratwurzeln von -1 interpretieren. Der Zahl (0, 1) geben wir noch einen spezielle Bezeichnung, nämlich i = (0, 1), auch imaginäre Einheit genannt. Bei einer komplexen Zahl (a, b) heißt b der Imaginärteil. Ja bezeichnet wird. Bei 2 + b2 spricht man vom Betrag der Zahl (a, b). Innerhalb der komplexen Zahlenebenen, wie die geometrische Darstellung des Zahlbereichs der komplexen Zahlen auch genannt wird, entspricht der Betrag einer komplexen Zahl dem Abstand der Zahl zum Nullpunkt l8 .

2. Da Ferraris Verfahren in der hier beschriebenen Version nur für biquadratische Gleichungen verwendet werden kann, bei denen die Unbekannte X nicht in der dritten Potenz auftaucht, muss noch ein Weg beschrieben werden, mit der eine allgemeine biquadratische Gleichung der Form x 4 +ax 3 +bx 2 +cx+d = 0 in eine Gleichung der reduzierten Form y4 + py2 +qy+r=O transformiert werden kann. Ganz ähnlich wie im Fall der kubischen Gleichung ist das dadurch möglich, dass man die Unbekannte X durch Biquadratische Gleichungen 27 a x=y-4 substituiert, wobei sich die beiden entstehenden Tenne zur Potenz genseitig aufheben: l ge- x 4 +ax 3 +bx 2 +cx+d = y4 + py2 +qy+r Dabei sind - wie schon bei der entsprechenden Substitution für kubische Gleichungen - die Koeffizienten der reduzierten Gleichung aus denen der ursprünglichen Gleichung mittels polynomialer Ausdrücke berechenbar.

Und da die verbleibende Gleichung, sofern ihr Grad mindestens gleich 1 ist, wiederum eine Lösung haben muss, kann der Prozess sogleich weiter fortgesetzt werden und zwar so lange, bis die ganze Gleichung gänzlich in Linearfaktoren zerlegt ist. Das heißt: Kann bewiesen werden, dass jede Gleichung n-ten Grades minde25 Bereits Cardano hat solche mehrfache Lösungen behandelt. Siehe Girolamo Cardano (siehe Fußnote 5), Chapter I, Gleichung x 3 + 16 = 2x. 32 Gleichungen n-ten Grades und ihre Eigenschaften stens eine Lösung besitzt, dann gibt es sogar stets n Lösungen, wobei jede mehrfache Lösung mit ihrer Vielfachheit gezählt wird.

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by George
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