Marvin J. Greenberg's Algebraic topology: a first course PDF

By Marvin J. Greenberg

ISBN-10: 0805335579

ISBN-13: 9780805335576

ISBN-10: 0805335587

ISBN-13: 9780805335583

Great first publication on algebraic topology. Introduces (co)homology via singular theory.

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6. 1 Formes primitives Soit L un R-module libre de dimension finie. Soit Λ un lagrangien de H(L) ; soient respectivement α : Λ → L et β : Λ → L∗ les restrictions `a Λ des projections sur L et L∗ . Le fait que la restriction a` Λ de la forme symplectique est nulle ´equivaut a` la commutativit´e du diagramme suivant α Λ −−−−→ L ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ∗ β β ∗ α L∗ −−−−→ Λ∗ . Si l’on interpr`ete les fl`eches horizontales de ce diagramme comme des complexes de chaˆınes (de R-modules) et les fl`eches verticales comme un homomorphisme de complexes, alors on constate que cet homomorphisme est une ´equivalence d’homotopie.

Sur la “composante connexe” Soit maintenant Y une forme bilin´eaire sym´etrique d´efinie sur un module libre de dimension finie M . Nous dirons que Y est une forme primitive au sens strict pour le lagrangien Λ s’il existe un diagramme commutatif α φ1 Λ −−−−→ L ⏐ ⏐ ⏐φ ⏐ 0 Y M −−−−→ M ∗ tel que (φ1 ,φ0 ) est une ´equivalence d’homotopie (le diagramme ci-dessus ´etant interpr´et´e comme pr´ec´edemment) et que l’on a β = φ∗0 φ1 . On observera que cette derni`ere ´egalit´e signifie que l’on a une factorisation d’´equivalences d’homotopie (β,β ∗ ) = (φ∗0 ,φ∗1 ) ◦ (φ1 ,φ0 ) ou encore que le diagramme suivant α ✲ L Λ ❳ ❳❳❳ ❳❳ ❳❳ ❳❳ φ1 ❳❳❳φ0 ❳❳❳ ❳❳❳ ❳❳❳ ❳❳ ❳❳ ❳❳❳ ❳❳❳ ❳ ❳ ③ ③ Y ∗ ✲ β β M M∗ ✘ ✘ ✘ ✘ ✘ ✘ ✘ ✘ ∗ ∗ φ0 φ1 ✘✘✘ ✘✘✘ ✘✘ ✘✘ ✘ ✘ ✘ ✘ ✘✘ ✘ ✘ ✘ ✘ ✘ ✘ ❄✘ ❄✘ ✾✘ ✾✘ α∗ ✲ ∗ ∗ L Λ est commutatif.

Sur la “composante connexe” Soit maintenant Y une forme bilin´eaire sym´etrique d´efinie sur un module libre de dimension finie M . Nous dirons que Y est une forme primitive au sens strict pour le lagrangien Λ s’il existe un diagramme commutatif α φ1 Λ −−−−→ L ⏐ ⏐ ⏐φ ⏐ 0 Y M −−−−→ M ∗ tel que (φ1 ,φ0 ) est une ´equivalence d’homotopie (le diagramme ci-dessus ´etant interpr´et´e comme pr´ec´edemment) et que l’on a β = φ∗0 φ1 . On observera que cette derni`ere ´egalit´e signifie que l’on a une factorisation d’´equivalences d’homotopie (β,β ∗ ) = (φ∗0 ,φ∗1 ) ◦ (φ1 ,φ0 ) ou encore que le diagramme suivant α ✲ L Λ ❳ ❳❳❳ ❳❳ ❳❳ ❳❳ φ1 ❳❳❳φ0 ❳❳❳ ❳❳❳ ❳❳❳ ❳❳ ❳❳ ❳❳❳ ❳❳❳ ❳ ❳ ③ ③ Y ∗ ✲ β β M M∗ ✘ ✘ ✘ ✘ ✘ ✘ ✘ ✘ ∗ ∗ φ0 φ1 ✘✘✘ ✘✘✘ ✘✘ ✘✘ ✘ ✘ ✘ ✘ ✘✘ ✘ ✘ ✘ ✘ ✘ ✘ ❄✘ ❄✘ ✾✘ ✾✘ α∗ ✲ ∗ ∗ L Λ est commutatif.

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