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By Henri Lombardi, Claude Quitté

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1 Dans un A-module cohérent M , tout système linéaire ✭✭ sans second membre ✮✮ BX = 0 (B ∈ M k×n , X ∈ An×1 ) admet pour solutions les éléments d’un sous-A-module de type fini de An×1 . Faisons la preuve par exemple pour k = 2 (la preuve générale fonctionne par récurrence de la même manière). ✭✭ On résout la première équation et l’on porte la solution générale dans la seconde ✮✮. Voyons plus précisément. La matrice B est constituée des lignes L et L . On a une matrice G telle que LX = 0 ⇐⇒ ∃Y ∈ Am×1 , X = GY.

Xn ] 1− i ai Xi = A[x1 , . . , xn ]. 11 Le noyau de l’homomorphisme naturel ψ : A → B est l’idéal (0 : a∞ ) où a = a1 , . . , an . En particulier l’homomorphisme est injectif si, et seulement si, Ann a = 0. Soit c dans le noyau, vu l’isomorphisme B/ (xj )j=i A[1/ai ], on a c =A[1/ai ] 0, donc ∞ ). Inversement si c ∈ (0 : a∞ ), il existe un r tel que car = 0 c ∈ (0 : a∞ ). On en déduit c ∈ (0 : a i i pour chaque i et donc ψ(c) = ψ(c)( ai xi )nr = 0. 20 2. 3 Anneaux et modules cohérents Une notion fondamentale Un anneau A est dit cohérent si toute équation linéaire LX = 0 (L ∈ A1×n , X ∈ An×1 ) admet pour solutions les éléments d’un sous-A-module de type fini de An×1 .

3. L’homomorphisme A → A2 identifie A2 avec A/ f et avec A[1/e]. Réciproquement si e est un idempotent et f son complément l’homomorphisme canonique A → A/ e × A/ f est un isomorphisme. L’élément e est défini par λ(e) = (0, 1). On peut apporter quelques précisions souvent utiles. 2 Soit e un idempotent de A, f = 1 − e et M un A-module. 1. Les monoïdes eN = {1, e} et 1 + f A ont le même saturé. 4. Systèmes fondamentaux d’idempotents orthogonaux 25 2. En tant que A-module, A est somme directe de e = eA et f = f A.

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Algèbre Commutative: Méthodes constructives - Modules projectifs de type fini [preliminary version 22 August 2011] by Henri Lombardi, Claude Quitté


by Charles
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