Analytische Geometrie und Lineare Algebra 1 by Ina Kersten PDF

By Ina Kersten

ISBN-10: 3938616261

ISBN-13: 9783938616260

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The fusion of algebra, research and geometry, and their program to actual international difficulties, were dominant topics underlying arithmetic for over a century. Geometric algebras, brought and labeled via Clifford within the overdue nineteenth century, have performed a popular position during this attempt, as obvious within the mathematical paintings of Cartan, Brauer, Weyl, Chevelley, Atiyah, and Bott, and in functions to physics within the paintings of Pauli, Dirac and others.

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Example text

6 gezeigt, ist B ein Erzeugendensystem von ❘2 . Zu zeigen bleibt die lineare Unabh¨ angigkeit. 3 sehen werden. 6 wissen wir, dass B = {(−3, 3), (1, −1)} kein Erzeugendensystem und damit auch keine Basis des ❘2 ist. Die Vektoren v1 und v2 sind wegen v1 +3v2 = 0 linear abh¨angig. 4 werden wir sehen, dass zwei linear unabh¨angige Vektoren in ❘2 stets eine Basis von ❘2 bilden. 4 Eindeutigkeit der Basisdarstellung Satz. Sei V ein endlich erzeugter K-Vektorraum, der eine Basis (v1 , . . , vn ) besitzt.

Trivialerweise gilt: f : V −→ W ist surjektiv genau dann, wenn bild(f ) = W . 5 Isomorphismen von K -Vektorr¨ aumen Definition. Seien V, W zwei K-Vektorr¨aume und sei f : V −→ W eine K-lineare Abbildung. Ist f bijektiv, dann nennen wir f einen Isomorphismus. Ist f : V −→ W bijektiv, so gibt es eine Umkehrabbildung g : W −→ V mit (∗) (∗∗) g(f (v)) = v f (g(w)) = w ∀v ∈ V ∀w ∈ W Oft wird daf¨ ur auch g = f −1 geschrieben. Satz. Wenn f : V −→ W ein Isomorphismus ist, dann ist die Umkehrabbildung g : W −→ V auch K-linear und damit ebenfalls ein Isomorphismus.

Ohne Einschr¨ankung sei j = 1, ansonsten vertauschen wir einfach v1 und vj . Zu zeigen ist nun, dass v, v2 , . . , vn eine Basis von V bilden. Unabh¨ angigkeit. Sei µ1 v + µ2 v2 + · · · + µn vn = 0 mit µ1 , . . , µn ∈ K. Setzen wir hierin die obige Basisdarstellung f¨ ur v ein, so folgt µ1 λ1 v1 + (µ1 λ2 + µ2 )v2 + · · · + (µ1 λn + µn )vn = 0 angig sind, folgt Da v1 , . . , vn linear unabh¨ ur i = 2, . . , n µ1 λ1 = 0 und µ1 λi + µi = 0 f¨ =⇒ µ1 = 0, da λ1 = 0 =⇒ µ2 = · · · = µn = 0 . Also sind v, v2 , .

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by Christopher
4.3

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