By Bessi U.

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Deﬁnition. Das Element τ y heißt Spur von y auf Γ, die Abbildung τ Spuroperator. Bemerkungen. Im Weiteren werden wir der Einfachheit halber an Stelle von τ y die Bezeichnung y|Γ verwenden. In diesem Sinne ist auch y|Γ0 auf messbaren Teilmengen Γ0 ⊂ Γ als Einschr¨ ankung von τ y auf Γ0 deﬁniert. Die Stetigkeit des Spuroperators ist ¨ aquivalent zu seiner Beschr¨anktheit, also zur Existenz einer Konstanten cτ = cτ (Ω, p), so dass y|Γ Lp (Γ) ≤ cτ y W 1,p (Ω) ∀y ∈ W 1,p (Ω) gilt. B. [2] oder [209].

Deshalb ist dieses durch u erzeugte Funktional Fu ein Element des zu U ∗ dualen Raums (U ∗ )∗ =: U ∗∗ . Die Abbildung u → Fu ist injektiv. Daher kann man im Sinne dieser Konstruktion jedes Element u ∈ U als Funktional aus U ∗∗ auﬀassen, indem man es mit Fu identiﬁziert. Der Raum U ∗∗ heißt zu U bidualer Raum. Mit der eben beschriebenen Identiﬁkation gilt immer U ⊂ U ∗∗ . Die Zuordnung u → Fu von U in U ∗∗ heißt kanonische Einbettung oder kanonische Abbildung. Ist diese surjektiv, gilt also U = U ∗∗ , dann heißt der Raum U reﬂexiv.

Die Abschließung von C0∞ (Ω) in W k,p (Ω) bezeichnet man mit W0k,p (Ω). Dieser Raum wird mit der gleichen Norm wie W k,p (Ω) versehen und ist ein abgeschlossener Teilraum von W k,p (Ω). Insbesondere setzen wir H0k (Ω) := W0k,2 (Ω). h. lim x − en X = 0 mit en ∈ E n→∞ f¨ ur alle n ∈ IN. Eine Menge E ⊂ X heißt dicht in X, wenn ihre Abschließung der ganze Raum X ist. Aus der obigen Deﬁnition ergibt sich speziell, dass die Menge C0∞ (Ω) dicht in H01 (Ω) ist. Funktionen aus W0k,p (Ω) k¨ onnen als solche angesehen werden, bei denen die Randwerte aller Ableitungen bis zur Ordnung k − 1 verschwinden.